Question

【题目】在圆周上依次有个点，今随机地选取其中个点为顶点作凸边形，已知选取与否的可能性是相同的，试求对每个，边形的两个相邻顶点（规定）之间至少有中的个点的概率，其中，是给定的一组正整数.

Answer 1

【答案】

【解析】

设是合乎条件的凸边形，令,

设中与之间有个不属于，规定，

则，其中，，

于是， ①

其中，.

这样，每个组合与方程①的整数解建立了一一对应，而且方程①的整数解的个数为.

所以，符合条件的组合有个.

将每一个组合排在圆周上，有种不同的排法（每个顶点轮换一次），但每个凸边形有个顶点，每个点作为以相应的间隔（不定方程的解）计算一次，从而，凸边形被计算次（比如三角形,以点分别作为时，其分别在间隔方式2、3、4、3、4、2、4、2、3中各计算一次），于是，所以符合条件的凸边形有个.

又从圆周上个点中取个点有种方法，

故所求的概率为：，其中，.