Question

【题目】已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）对任意的，恒成立，请求出的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）分、两种情况讨论的符号后可得的单调性.

（2）原不等式等价于，令，其导数为，求得，虚设其在上的零点后，可证明恒成立，从而得到在上为增函数，求得的值域后可得的取值范围.

解：（1），

若，则，所以函数在上递增；

若，方程的判别式为，

所以方程有两根分别为，，

所以当时，；

当时，，

所以函数在上递减；在上递增.

（2）不等式，对任意的恒成立，

即对任意的恒成立．

令，则，

令，则，

易知在上单调递增，

因为，，且的图象在上不间断，

所以存在唯一的，使得，即，则．

当时，单调递减；当时，单调递增．

则在处取得最小值，

且最小值为，

所以，即在上单调递增，所以.

所以．