Question

【题目】如图，平行四边形中，，，为边的中点，沿将折起使得平面平面.

（1）求证：平面平面；

（2）求四棱锥的体积；

（3）求折后直线与平面所成的角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）（3）

【解析】

（1）根据面面垂直的性质定理，证得平面，由此证得平面平面.

（2）的中点，根据等比三角形的性质得到由面面垂直的性质定理得平面，也即是四棱锥的高.进而求得四棱锥的体积.

（3）以为空间坐标系原点建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量，计算出直线与平面所成的角的正弦值.

（1）证明：∵平面平面，平面平面，

由题易知，且平面.

∴平面，而平面，

∴平面平面.

（2）由已知有是正三角形，取的中点，则，又平面平面于，

则平面，且，

易求得，

∴.

（3）作，由（1）知可如图建系，

则，，，

，

又，得，

，.

设平面的法向量，则

，不妨取.

设折后直线与平面所成的角为，则.