Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求函数在的单调性；

（2）当且时，，求函数在上的最小值；

（3）当时，有两个零点，，且，求证：.

Answer 1

【答案】（1）在上单调递增（2）（3）证明见解析

【解析】

（1）求得函数的导数，结合导数的符号，即可求得函数的单调性；

（2）由，求得，分类讨论求得函数的单调性与极值，进而求得函数的最小值，得到答案.

（3）由，根据题意，得到，，

两式相减，，令，得到函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.

（1）由题意，函数，则，

又∵，∴，，∴，

∴在上单调递增.

（2）由，则，

（1）当时，，，

此时图数在区间上单调递减，

∴函数在处取得最小值，即；

（2）当时，令，

当时，即当，，，

此时函数在区间上单调递减，函数在处取得最小值，

即；

综上所得.

（3）证明：根据题意，，

∵，是函数的两个零点，

∴，.

两式相减，可得，即，

∴，则，.

令，，则.

记，，则.

又∵，∴恒成立，故，即.

可得，∴.