Question

11．设函数f（x）在R上的导函数是f′（x），对?x∈R，f′（x）＜x．若f（1-a）-f（a）≤$\frac{1}{2}$-a，则实数a的取值范围是a≤$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²，求出g（x）的单调性，问题等价于f（1-a）-$\frac{1}{2}$（1-a）²≤f（a）-$\frac{1}{2}$a²，根据函数的单调性得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²，则g′（x）=f′（x）-x，而f′（x）＜x，
∴g′（x）=f′（x）-x＜0，
故函数g（x）在R递减，
∴f（1-a）-f（a）≤$\frac{1}{2}$-a等价于f（1-a）-$\frac{1}{2}$（1-a）²≤f（a）-$\frac{1}{2}$a²，
即g（1-a）≤g（a），∴1-a≥a，解得a≤$\frac{1}{2}$，
故答案为：a≤$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造函数g（x）是解题的关键，本题是一道中档题．