Question

9．已知$f（x）=sin（2x+\frac{π}{3}）+sin（2x-\frac{π}{3}），g（x）=\sqrt{3}cos2x$
（1）设h（x）=f（x）g（x），求函数h（x）在[0，π]上的单调递减区间；
（2）若一动直线x=t与函数y=f（x），y=g（x）的图象分别交于M，N两点，求|MN|的最大值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用两角和差的正弦公式求得h（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数h（x）在[0，π]上的单调递减区间．
（2）根据函数f（x）=sin2x 和g（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{2}$）的周期相同，把f（x）的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位，再把各点的纵坐标变为原来的$\sqrt{3}$倍，可得g（x）的图象，求得|MN|的最大值．

解答 解：（1）∵已知$f（x）=sin（2x+\frac{π}{3}）+sin（2x-\frac{π}{3}），g（x）=\sqrt{3}cos2x$，
故h（x）=f（x）g（x）=[sin2xcos$\frac{π}{3}$+cos2xsin$\frac{π}{3}$+sin2xcos$\frac{π}{3}$-cos2xsin$\frac{π}{3}$]cos2x
=sin2x•cos2x=$\frac{1}{2}$sin4x，
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤4x≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得 $\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$≤x≤$\frac{kπ}{2}$+$\frac{3π}{8}$，k∈Z，
故函数h（x）的减区间为[$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，$\frac{kπ}{2}$+$\frac{3π}{8}$]，k∈Z．
再结合x∈[0，π]，可得h（x）的减区间为[$\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{8}$]、[$\frac{5π}{8}$，$\frac{7π}{8}$]．
（2）函数y=f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+sin（2x-$\frac{π}{3}$）=2sin2xcos$\frac{π}{3}$=sin2x，
y=g（x）=$\sqrt{3}$cos2x=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{2}$），故f（x）和g（x）的周期相同，
把f（x）的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位，再把各点的纵坐标变为原来的$\sqrt{3}$倍，可得g（x）的图象，
若一动直线x=t与函数y=f（x），y=g（x）的图象分别交于M，N两点，
则|MN|=|$\sqrt{3}$sin（2t+$\frac{π}{2}$）-sin2t|=|$\sqrt{3}$cos2x-sin2t|=|2sin（$\frac{π}{3}$-2t）|≤2，
则|MN|的最大值为 2．

点评 本题主要考查两角和差的正弦公式，正弦函数的单调性，属于中档题．