Question

【题目】已知椭圆，记为与原点距离等于的全体直线所成的集合.问：是否存在常数，使得对任意的直线，均存在、，、分别过 与椭圆的交点、，且有？并说明理由.

Answer 1

【答案】

【解析】

假设存在满足题设条件的常数.取为特殊直线：，且与椭圆交于、两点.

作以原点为圆心、为半径的圆与轴的正半轴交于点.显然，圆与直线切于点，且.

依题意，存在直线、，分别过点、，且与圆相切.设切点分别为、.

则、分别垂直相互平行的直线、.故为圆的直径.

从而，是梯形的中位线.

由，知，.

因此，点，且，.

又点在椭圆上，由假设知椭圆方程为.

下面证明：即为所求.

先证明：若，且与椭圆交于点、，则.

设直线.

则原点到的距离为.

故.

将直线的方程代入椭圆方程得.

设，.

则由韦达定理得，

.故

，即.

易证，若直线的斜率不存在，则.

假设、分别与椭圆交于点与、与.则

，，，且，.

故，即.

综上，存在唯一满足题意.