Question

设a1=1，Sn+1=2Sn

n(n+1)

2

+1，其中S_n是数列a_n的前n项的和，若定义△a_n=a_n+1-a_n，则集合S=n|n∈N^*，△（△a_n）≥-2011的元素个数是（　　）

• A、9
• B、10
• C、11
• D、12

Answer 1

分析：由题意得Sn+1=2Sn-

n(n+1)

2

+1，Sn=2Sn-1-

(n-1)n

2

+1，n≥2，由此能得到a_n=n+1-2^n-1，再由定义△a_n=a_n+1-a_n，知△（△a_n）=△a_n+1-△a_n=-2^n-1，令-2^n-1≥-2011，能得到△（△a_n）≥-2011的元素个数．

解答：解：由题意得Sn+1=2Sn-

n(n+1)

2

+1，
Sn=2Sn-1-

(n-1)n

2

+1，n≥2，
∴a_n+1=2a_n-n，n≥2
∴a₂=2a₁-1=1，
a_n+1-（n+2）=2（a_n-n-1），
从而得a_n=n+1-2^n-1，
∵定义△a_n=a_n+1-a_n，
∴△（△a_n）=△a_n+1-△a_n=-2^n-1，
令-2^n-1≥-2011，
解得1≤n＜12
∴△（△a_n）≥-2011的元素个数是11个．
故选C．

点评：本题考查数列的递推公式，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．