Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S_n+1=4a_n+2（n≥1，n∈N）
（1）设b_n=a_n+1-2a_n，求b_n；
（2）设cn=

3n+6

bn

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由S_n+1=4a_n+2（n≥1，n∈N），得S_n=4a_n-1+2（n≥2，n∈N），两式相减可得递推式，通过变形可得b_n的递推式，由递推式可判断{b_n}为等比数列，从而可得b_n；
（2）由（1）可求得c_n，利用错位相减法可求得T_n．

解答：解：（1）由S_n+1=4a_n+2（n≥1，n∈N），得S_n=4a_n-1+2（n≥2，n∈N），
作差有a_n+1=4a_n-4a_n-1（n≥2），
整理得a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）（n≥2），即b_n=2b_n-1，
∴{b_n}是以b₁=a₂-2a₁为首项2为公比的等比数列，
由a₁=1，S_n+1=4a_n+2（n≥1，n∈N）求得a₂=5，
∴b₁=a₂-2a₁=3，∴bn=3•2n^-1；
（2）由（1）得，cn=

3n+6

bn

=

3n+6

3•2n-1

=

n+2

2n-1

，
则Tn=3+

4

2

+

5

22

+…+

n+2

2n-1

①，

1

2

Tn=

3

2

+

4

22

+

5

23

+…+

n+2

2n

②，
①-②得，

1

2

Tn=3+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

-

n+2

2n

=3+

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

n+2

2n

=3+1-

1

2n-1

-

n+2

2n

=4-

n+4

2n

，
故Tn=4-

n+4

2n

．

点评：本题考查等比数列的通项公式、由递推式求数列的通项，考查数列求和，错位相减法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．