题目内容

13．已知正整数n＞1．求证：$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$＜$\frac{25}{36}$．（其中：ln2≈0.6931）

分析 构造函数y=$\frac{1}{x}$，利用函数在（0，+∞）是凹函数，由图象结合曲边梯形的面积表示得到证明．

解答 证明：构造函数y=$\frac{1}{x}$，因为此函数在（0，+∞）是凹函数，由图象可知，

在区间[n，2n]上的n个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，
所以$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$＜${∫}_{n}^{2n}\frac{1}{x}dx$=lnx|${\;}_{n}^{2n}$=ln2n-lnn=ln2≈0.6931＜$\frac{25}{36}$．

点评 本题考查了不等式的证明；本题采用了定积分的几何意义证明的，属于难题．

练习册系列答案
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