题目内容
18.已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴,长、短轴长之比为2:1,若圆x2+y2-4y+3=0上的点P到此椭圆上点Q的最大值为1+$\frac{2\sqrt{21}}{3}$,求此椭圆的方程.分析 由题意可设椭圆的标准方程为:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a=2b>0),即$\frac{{x}^{2}}{4{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1.圆x2+y2-4y+3=0化为x2+(y-2)2=1.圆心(0,2)到椭圆上的点Q(2bcosθ,bsinθ)的距离d=$\sqrt{-3{b}^{2}(sinθ+\frac{2}{3b})^{2}+4{b}^{2}+\frac{16}{3}}$,再利用二次函数的单调性即可得出.
解答 解:由题意可设椭圆的标准方程为:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a=2b>0),即$\frac{{x}^{2}}{4{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1.
圆x2+y2-4y+3=0化为x2+(y-2)2=1.
圆心(0,2)到椭圆上的点Q(2bcosθ,bsinθ)的距离d=$\sqrt{4{b}^{2}co{s}^{2}θ+(bsinθ-2)^{2}}$=$\sqrt{-3{b}^{2}(sinθ+\frac{2}{3b})^{2}+4{b}^{2}+\frac{16}{3}}$,
当$\frac{2}{3b}$≥1时,sinθ=-1时取得最大值,∴b+2=1+1+$\frac{2\sqrt{21}}{3}$,解得b=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$>$\frac{2}{3}$,舍去.
当0<$\frac{2}{3b}$<1时,sinθ=-$\frac{2}{3b}$时取得最大值,∴$\sqrt{4{b}^{2}+\frac{16}{3}}$=1+1+$\frac{2\sqrt{21}}{3}$,
解得b2=2+$\frac{2\sqrt{21}}{3}$.
∴4b2=$8+\frac{8\sqrt{21}}{3}$.
∴此椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{8+\frac{8\sqrt{21}}{3}}$+$\frac{{y}^{2}}{2+\frac{2\sqrt{21}}{3}}$=1.
点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、两点之间的距离公式、二次函数的单调性,考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力,属于难题.
A. | 2 | B. | 6 | C. | 7 | D. | 8 |
A. | $\frac{1}{8}$ | B. | -$\frac{1}{8}$ | C. | $\frac{8}{17}$ | D. | -$\frac{8}{17}$ |