题目内容
已知数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=3n3+n(n∈N*).
(1)求{an}的通项公式;
(2)已知数列{bn}满足an(2bn-1)=1.Tn=b1+b2+…+bn.
(i)证明:3Tn>log2
(n∈N*);
(ii)是否存在最大的正数k,使不等式3Tn≥log2k+log2an+1,对一切n∈N*都成立?若存在,求出k的最大值,若不存在,请说明理由.
(1)求{an}的通项公式;
(2)已知数列{bn}满足an(2bn-1)=1.Tn=b1+b2+…+bn.
(i)证明:3Tn>log2
| 3n+2 | 2 |
(ii)是否存在最大的正数k,使不等式3Tn≥log2k+log2an+1,对一切n∈N*都成立?若存在,求出k的最大值,若不存在,请说明理由.
分析:(1)n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-1,由此能求出{an}的通项公式.
(2)由bn=log2
,知Tn=log2
+log2
+…+log2
=log2(
×
×…×
).要证:3Tn>log2
,即证:3log2(
×
×…×
)>log2
,由此入手能够使原不等式得证.
(3)假设存在最大正数k,使不等式成立.即3Tn≥log2k(3n+2),所以Tn≥log2
,由此能够证明存在最大正数k.
(2)由bn=log2
| 3n |
| 3n-1 |
| 3 |
| 2 |
| 6 |
| 5 |
| 3n |
| 3n-1 |
| 3 |
| 2 |
| 6 |
| 5 |
| 3n |
| 3n-1 |
| 3n+2 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 6 |
| 5 |
| 3n |
| 3n-1 |
| 3n+2 |
| 2 |
(3)假设存在最大正数k,使不等式成立.即3Tn≥log2k(3n+2),所以Tn≥log2
| 3 | k(3n+2) |
解答:解:(1)n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-1,
∵n=1时,a1=S1=2满足上式
∴an=3n-1(n∈N+).
(2)由(1)得:bn=log2
,
∴Tn=log2
+log2
+…+log2
=log2(
×
×…×
).
要证:3Tn>log2
即证:3log2(
×
×…×
)>log2
,
即:(
×
×…×
)33>
,
令g(n)=
,
∵
=
-
=
>
=1,
∴g(n+1)>g(n).即g(n)为增.从而g(n)>g(1)=
>1,
∴(
×
×…×
)3>
从而原不等式得证.
(3)假设存在最大正数k,使不等式成立.即3Tn≥log2k(3n+2),
∴Tn≥log2
,
∴log2(
×
×…×
)≥log2
,
∴
≤
,
由(2)知g(n)=
为增.
∴
≤
,
∴0<k≤
=
,
∴存在最大正数k=
.
∵n=1时,a1=S1=2满足上式
∴an=3n-1(n∈N+).
(2)由(1)得:bn=log2
| 3n |
| 3n-1 |
∴Tn=log2
| 3 |
| 2 |
| 6 |
| 5 |
| 3n |
| 3n-1 |
=log2(
| 3 |
| 2 |
| 6 |
| 5 |
| 3n |
| 3n-1 |
要证:3Tn>log2
| 3n+2 |
| 2 |
即证:3log2(
| 3 |
| 2 |
| 6 |
| 5 |
| 3n |
| 3n-1 |
| 3n+2 |
| 2 |
即:(
| 3 |
| 2 |
| 6 |
| 5 |
| 3n |
| 3n-1 |
| 3n+2 |
| 2 |
令g(n)=
(
| ||||||
|
∵
| g(n+1) |
| g(n) |
(
| ||||||||
|
| ||||||
(
|
=
| (3n+3)3 |
| (3n+2)2•(3n+5) |
| (3n+3)3 | ||
(
|
∴g(n+1)>g(n).即g(n)为增.从而g(n)>g(1)=
(
| ||
|
∴(
| 3 |
| 2 |
| 6 |
| 5 |
| 3n |
| 3n-1 |
| 3n+2 |
| 2 |
(3)假设存在最大正数k,使不等式成立.即3Tn≥log2k(3n+2),
∴Tn≥log2
| 3 | k(3n+2) |
∴log2(
| 3 |
| 2 |
| 6 |
| 5 |
| 3n |
| 3n-1 |
| 3 | k(3n+2) |
∴
| 3 | k |
| ||||||
|
由(2)知g(n)=
(
| ||||||
|
∴
| 3 | k |
| |||
|
∴0<k≤
| ||
| 5 |
| 27 |
| 40 |
∴存在最大正数k=
| 27 |
| 40 |
点评:本题考查数列的通项公式的求法,证明3Tn>log2
(n∈N*)和判断是否存在最大的正数k,使不等式3Tn≥log2k+log2an+1,对一切n∈N*都成立.解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化.
| 3n+2 |
| 2 |
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