题目内容

各项都为正数的数列{an}中，a1=2，an+1+an=
n+1
an+1-an
，则an=
2n2+2n+12
2
2n2+2n+12
2
．
分析：由条件知，an+12-an2=n+1，再利用叠加法可求数列的通项．
解答：解：由题意，∵an+1+an=
n+1
an+1-an

∴an+12-an2=n+1
∴
a
2
n
-
a
2
1
=n+(n-1)+2=
(n-1)(n+2)
2

∴
a
2
n
=
n2+n+6
2

∵各项都为正数的数列{an}
∴an=
2n2+2n+12
2

故答案为
2n2+2n+12
2
点评：本题以递推数列为载体，考查数列的通项，关键是利用叠加法求解．
练习册系列答案
相关题目
各项都为正数的数列{an}，满足a1=1，an+12-an2=2．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）证明
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
≤
2n-1
对一切n∈N+恒成立．
已知{an}是各项都为正数的数列，其前n项和为Sn，且满足2anSn-an2=1．
（Ⅰ）求a1，a2的值；
（Ⅱ）证明{Sn2}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）求数列{
1
S
2
n
S
2
n+1
}的前n项和．
（理科）已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1，Sn=
1
2
anan+1（n∈N+），其中Sn是数列{an}的前n项的和．
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）已知p（≥2）是给定的某个正整数，数列{bn}满足bn=1，
bk+1
bk
=
k-p
ak+1

（k=1，2，3…，p-1），求bk；
（3）化简b1+b2+b3+…+bp．
（2009•重庆模拟）已知{an}是各项都为正数的数列，Sn为其前n项的和，且a1=1，Sn=
1
2
(an+
1
an
)．
（I）分别求S22，S32的值；
（II）求数列{an}的通项an；
（III）求证：
1
2S1
+
1
3S2
+…+
1
(n+1)Sn
＜2(1-
1
Sn+1
)．
各项都为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知2(Sn+1)=an2+an．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}满足b1=2，bn+1=2bn，数列{cn}满足cn=
an(n为奇数)
bn(n为偶数)
，数列{cn}的前n项和为Tn，当n为偶数时，求Tn；
（Ⅲ）同学甲利用第（Ⅱ）问中的Tn设计了一个程序如图，但同学乙认为这个程序如果被执行会是一个“死循环”（即程序会永远循环下去，而无法结束）．你是否同意同学乙的观点？请说明理由．

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