Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知直线：，抛物线： （）．

（1）若直线过抛物线的焦点，求抛物线的方程；

（2）已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点和．

①求证：线段PQ的中点坐标为；

②求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）①见证明；②

【解析】

（1）求出抛物线C：y2＝2px （p＞0）的焦点坐标，代入直线l：x﹣y﹣4＝0，求得p值，则抛物线C的方程可求；

（2）设P（x1，y1）、Q（x2，y2），线段PQ的中点M（x0，y0）．由点P和Q关于直线l对称，可设PQ的方程为y＝﹣x+b．

①联立直线方程与抛物线方程，由判别式大于0可得p+2b＞0，分别求出P、Q的纵坐标，可得M的纵坐标．结合M（x0，y0）在直线l上，可得x0＝4﹣p，由此得到线段PQ的中点坐标为（4﹣p，﹣p）；

②把M（4﹣p，﹣p）代入直线y＝﹣x+b上，得到b＝4﹣2p．结合p+2b＞0即可求得p的取值范围．

（1）抛物线： （）的焦点为，

由点在直线：上得，即，

所以抛物线的方程为

（2）设、，线段的中点．

因为点和关于直线对称，所以直线垂直平分线段，

于是的方程可设为．

①由得（﹡），

因为和是抛物线上相异两点，所以，

从而，化简得，方程（﹡）的两根为

，从而．

因为在直线上，所以，

因此，线段的中点坐标为

②因为在直线上，

所以，即．

由①知，于是，所以，

即的取值范围为.