Question

【题目】已知函数g（x）=，f（x）=g'（x）-（a是常数）．若对a∈R，函数h（x）=kx（k是常数）的图象与曲线y=f（x）总相切于一个定点．

（1）求k的值；

（2）若对∈（0，+∞），[f（）-h（）][f（）-h（）]＞0，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) k=1 (2) （-∞，1]

【解析】

（1）由函数的图像与曲线 总相切于定点可知的值是与 无关的常数，即可求出，再计算出切点坐标得出切线方程，从而得到的值；

（2）设，由题可得恒成立或恒成立，化简可得恒正或恒负，讨论的值，计算的最值进行判断

解：（1）由已知得，．

可设函数的图像与曲线 总相切于定点,

可得，且的值是与 无关的常数，因而，，进而可求得切线方程为，得，所以，

（2）因为，所以可设,

可得题设即，，则与同号，即恒成立或恒成立．

设，可得．

可得题设即：恒成立或恒成立；

①当时，可得，所以是增函数，此时满足题意，

②当时，可得在上分别是减函数、增函数，

进而可得题设恒成立．

取，下面判断的正负：

设函数，可得，，是增函数，因而，是增函数；

故，∴，

说明时不满足题意．

综上所述，可得所求实数的取值范围是．