题目内容

1．为弘扬传统文化，某校举行诗词大赛．经过层层选拔，最终甲乙两人进入决赛，争夺冠亚军．决赛规则如下：①比赛共设有五道题；②比赛前两人答题的先后顺序通过抽签决定后，双方轮流答题，每次回答一道，；③若答对，自己得1分；若答错，则对方得1分；④先得 3 分者获胜．已知甲、乙答对每道题的概率分别为$\frac{2}{3}$和$\frac{3}{4}$，且每次答题的结果相互独立．
（Ⅰ）若乙先答题，求甲3：0获胜的概率；
（Ⅱ）若甲先答题，记乙所得分数为 X，求X的分布列和数学期望 EX．

分析 （I）设“乙先答题，甲3：0获胜”为事件A，只能是答完3道题结束，此时乙答错2道题，甲答对1道题．
即可得出．
（II）由题意可得：X的可能取值为0，1，2，3．
①X=0时，则答完3道题结束，此时乙答错1道题，甲答对2道题，此时甲得3分，乙得0分，即可得出．
②X=1，则答完4道题结束，此时共有一下3种情况：甲错乙错甲对乙错；甲对乙错甲错乙错；甲对乙对甲对乙错．
③X=2，则第5次必须是甲答对，此时共有一下6种情况：甲对乙对甲对乙对甲对；甲对乙对甲错乙错甲对；甲对乙错甲错乙对甲对；甲错乙对甲对乙错甲对；甲错乙错甲对乙对甲对；甲错乙错甲错乙错甲对．
④X=3，P（X=3）=1-P（X=0）-P（X=1）-P（X=2）．

解答 解：（I）设“乙先答题，甲3：0获胜”为事件A，只能是答完3道题结束，此时乙答错2道题，甲答对1道题．
则P1=$（1-\frac{3}{4}）^{2}×\frac{2}{3}$=$\frac{1}{24}$．
（II）由题意可得：X的可能取值为0，1，2，3．
①X=0时，则答完3道题结束，此时乙答错1道题，甲答对2道题，此时甲得3分，乙得0分，则P（X=0）=$\frac{2}{3}×$$（1-\frac{3}{4}）$×$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{9}$．
②X=1，则答完4道题结束，此时共有一下3种情况：甲错乙错甲对乙错；甲对乙错甲错乙错；
甲对乙对甲对乙错．
∴P（X=1）=（1-$\frac{2}{3}$）×（1-$\frac{3}{4}$）×$\frac{2}{3}$×（1-$\frac{3}{4}$）+$\frac{2}{3}$×（1-$\frac{3}{4}$）×$（1-\frac{2}{3}）$×（1-$\frac{3}{4}$）+$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{2}{3}$×（1-$\frac{3}{4}$）=$\frac{1}{9}$．
③X=2，则第5次必须是甲答对，此时共有一下6种情况：甲对乙对甲对乙对甲对；甲对乙对甲错乙错甲对；甲对乙错甲错乙对甲对；甲错乙对甲对乙错甲对；甲错乙错甲对乙对甲对；甲错乙错甲错乙错甲对．
∴P（X=2）=$\frac{2}{3}×（1-\frac{2}{3}）×\frac{3}{4}×（1-\frac{3}{4}）×\frac{2}{3}$×4+$（\frac{2}{3}）^{3}×（\frac{3}{4}）^{2}$+$（1-\frac{2}{3}）^{2}×（1-\frac{3}{4}）^{2}×\frac{2}{3}$=$\frac{61}{216}$．
④X=3，P（X=3）=1-P（X=0）-P（X=1）-P（X=2）=1-$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{9}$-$\frac{61}{216}$=$\frac{107}{216}$．
其分布列为：

 X 0 1 2 3
 P $\frac{1}{9}$ $\frac{1}{9}$$\frac{61}{216}$ $\frac{107}{216}$
E（X）=0+$1×\frac{1}{9}$+2×$\frac{61}{216}$+3×$\frac{107}{216}$=$\frac{467}{216}$．

点评 本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式、相互对立事件的概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
相关题目
15．设${（{2{x^2}+1}）^5}={a_0}+{a_1}{x^2}+{a_2}{x^4}+…+{a_5}{x^{10}}，则{a_3}$的值为80．
12．已知一个正△ABC的边长为6cm，点D到△ABC各顶点的距离都是4cm．求：
（1）点D到△ABC所在平面的距离；
（2）DB与平面ABC所成角的余弦值；
（3）二面角D-BC-A的余弦值．
9．数列{an}的前n项和记为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n≥1，n∈N*}，则数列{an}的通项公式an=3n-1．
16．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$），A（$\frac{1}{3}$，0）为f（x）图象的对称中心，B，C是该图象上相邻的最高点和最低点，若BC=4，则f（x）的单调递增区间是（　　）
A．（2k-$\frac{2}{3}$，2k+$\frac{4}{3}$），k∈ZB．（2kπ-$\frac{2}{3}$π，2kπ+$\frac{4}{3}$π），k∈Z
C．（4k-$\frac{2}{3}$，4k+$\frac{4}{3}$），k∈ZD．（4kπ-$\frac{2}{3}$π，4kπ+$\frac{4}{3}$π），k∈Z
6．若函数f（x）满足f（x）=x（f′（x）-lnx），且f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{e}$，则ef（ex）＜f′（$\frac{1}{e}$）+1的解集是（　　）
A．（-∞，-1）B．（-1，+∞）C．（0，$\frac{1}{e}$）D．（$\frac{1}{e}$，+∞）
13．设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的长是8，AB的中点到x轴的距离是3．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）设直线m在y轴上的截距为6，且与抛物线交于P，Q两点，连结QF并延长交抛物线的准线于点R，当直线PR恰与抛物线相切时，求直线m的方程．
10．已知数列$\left\{{a_n}\right\}，{a_1}=2，{a_n}=\frac{1}{n}+（{1-\frac{1}{n}}）{a_{n-1}}（{n≥2，n∈{N^*}}）$．
（1）证明：数列{nan}是等差数列；
（2）记${b_n}=\frac{1}{{{n^2}{a_n}}}$，{bn}的前n项和为Sn，证明：Sn＜1．
11．若集合A={-2，-1，0，1，2}，集合B={x|lg（x+1）＞0}，则A∩B等于（　　）
A．{-1，0，1，2}B．{-1，-2}C．{1，2}D．{0，1，2}

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网