Question

6．若函数f（x）满足f（x）=x（f′（x）-lnx），且f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{e}$，则ef（e^x）＜f′（$\frac{1}{e}$）+1的解集是（　　）

• A． （-∞，-1）
• B． （-1，+∞）
• C． （0，$\frac{1}{e}$）
• D． （$\frac{1}{e}$，+∞）

Answer 1

分析 将函数整理得（$\frac{f（x）}{x}$）′=$\frac{lnx}{x}$，两边积分，求得函数的解析式，求导，求得函数的单调性及f′（$\frac{1}{e}$），则不等式转化成f（e^x）＜$\frac{1}{e}$=f（$\frac{1}{e}$）=f（e^-1），利用函数的单调性即可求得不等式的解集．

解答 解：由f（x）=x（f′（x）-lnx），整理得xf′（x）-f（x）=xlnx，即（$\frac{f（x）}{x}$）′=$\frac{lnx}{x}$，
两边积分$∫（\frac{f（x）}{x}）dx$=$∫\frac{ln}{x}dx$=∫lnxd（lnx）=$\frac{1}{2}$ln²x+C，
整理得：f（x）=$\frac{x}{2}$ln²x+Cx，
f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{e}$，代入求得c=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=$\frac{x}{2}$ln²x+$\frac{1}{2}$x，
f′（x）=$\frac{1}{2}$ln²x+lnx+$\frac{1}{2}$，令lnx=t，t∈R，
∴f′（t）=$\frac{1}{2}$t²+t+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$（t+1）²≥0，
∴f（x）单调递增，
由f（x）=x（f′（x）-lnx），f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{e}$，
f′（$\frac{1}{e}$）=0，
由ef（e^x）＜f′（$\frac{1}{e}$）+1，整理得：f（e^x）＜$\frac{1}{e}$=f（$\frac{1}{e}$）=f（e^-1），
由函数单调性递增，即e^x＜e^-1，
由y=e^x，单调递增，则x＜-1，
∴不等式的解集（-∞，-1），
故选A．

点评 本题考查求函数的解析式，不等式的解法，考查求函数的不定积分的应用，考查转换思想，属于难题．