Question

20．已知焦点在x轴的椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）求椭圆C被直线y=x截得的线段长．

Answer 1

分析 （I）求得椭圆的a=2，运用离心率公式可得c，由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；
（II）设直线与椭圆交于A，B两点，联立直线的方程和椭圆方程，求得交点A，B的坐标，由两点的距离公式即可得到所求值．

解答 解：（I）椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的a=2，c=$\sqrt{4-{b}^{2}}$，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{c}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得c=$\sqrt{3}$，b=1，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（II）设直线与椭圆交于A，B两点．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，可得5x²=4，解得x=±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
可得A（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$），B（-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$），
所以|AB|=$\sqrt{（\frac{4\sqrt{5}}{5}）^{2}+（\frac{4\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和a，b，c的关系，考查弦长的求法，注意联立直线方程和椭圆方程，求得交点，运用两点的距离公式，属于基础题．