Question

18．已知函数f（x）=$\frac{9x}{a{x}^{2}+1}$（a＞0）．
（1）若a＞$\frac{2}{3}$，且曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为-$\frac{27}{25}$，求函数f（x）的单调区间；
（2）求证：当x＞1时，f（x）＞$\frac{9+lnx}{a{x}^{2}+1}$．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率，解方程可得a=1，由导数大于0，可得增区间，由导数小于0，可得减区间；
（2）要证当x＞1时，f（x）＞$\frac{9+lnx}{a{x}^{2}+1}$（a＞0），即证当x＞1时，$\frac{9x}{a{x}^{2}+1}$＞$\frac{9+lnx}{a{x}^{2}+1}$（a＞0），即有当x＞1时，9+lnx＜9x．令g（x）=9+lnx-9x（x＞1），求出导数，判断单调性，即可得证．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{9x}{a{x}^{2}+1}$的导数为
f′（x）=$\frac{9（1-a{x}^{2}）}{（a{x}^{2}+1）^{2}}$，
即有在点（2，f（2））处的切线的斜率为$\frac{9（1-4a）}{（1+4a）^{2}}$=-$\frac{27}{25}$，
解得a=$\frac{7}{12}$＜$\frac{2}{3}$（舍去）或a=1，
即有f（x）=$\frac{9x}{1+{x}^{2}}$的导数为f′（x）=$\frac{9（1-{x}^{2}）}{（1+{x}^{2}）^{2}}$，
由f′（x）＞0，可得-1＜x＜1，由f′（x）＜0，可得x＞1或x＜-1．
则f（x）的增区间为（-1，1），减区间为（-∞，-1），（1，+∞）；
（2）证明：要证当x＞1时，f（x）＞$\frac{9+lnx}{a{x}^{2}+1}$（a＞0），
即证当x＞1时，$\frac{9x}{a{x}^{2}+1}$＞$\frac{9+lnx}{a{x}^{2}+1}$（a＞0），
即有当x＞1时，9+lnx＜9x．
令g（x）=9+lnx-9x（x＞1），
g′（x）=$\frac{1}{x}$-9＜0，即有g（x）在（1，+∞）递减，
则g（x）＜g（1）=0，即有当x＞1时，9+lnx＜9x．
故当x＞1时，f（x）＞$\frac{9+lnx}{a{x}^{2}+1}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，考查不等式的证明，注意运用构造函数和求导判断单调性，考查运算能力，属于中档题．