Question

设X_n=αⁿ+α^n-1β+α^n-2β²+…+αβ^n-1+βⁿ．问：当α≠β时，求X_n的值．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：当β=0时，可直接得到X_n的值；当β≠0时，令γ=

α

β

，把问题转化为等比数列的前n项和求解．

解答： 解：当β=0时，X_n=αⁿ+α^n-1β+α^n-2β²+…+αβ^n-1+βⁿ=αⁿ；
当β≠0时，令γ=

α

β

，依题意知γ≠1，
则X_n=αⁿ+α^n-1β+α^n-2β²+…+αβ^n-1+βⁿ
=βⁿ（γⁿ+γ^n-1+…+γ+1）
=βn•

γn+1-1

γ-1

=

βn( αn+1 βn+1 -1)

α β -1

=

αn+1-βn+1

α-β

．
当β=0时，也适合上式，
综上所述，当α≠β时，X_n=

αn+1-βn+1

α-β

．

点评：本题考查了数列递推式，考查了数学转化思想方法，训练了等比数列前n项和的求法，是中档题．