Question

15．已知函数f（x）=xlnx+$\frac{1}{2}$mx²-（m+1）x+1．
（1）若g（x）=f'（x），讨论g（x）的单调性；
（2）若f（x）在x=1处取得极小值，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论m的范围求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论m的范围，判断是否满足f'（1）=0，从而求出m的范围即可．

解答 解：（1）$g（x）=f'（x）=1+lnx+mx-（{m+1}）（{x＞0}），g'（x）=\frac{1}{x}+m=\frac{1+mx}{x}$．
①m=0时，当x＞0时，g'（x）＞0，所以g（x）在（0，+∞）上为增函数；
②m＞0时，当x＞0时，g'（x）＞0，所以g（x）在（0，+∞）上为增函数；
③m＜0时，令 g'（x）=0，得$x=-\frac{1}{m}$，所以当$x∈（{0，-\frac{1}{m}}）$时，g'（x）＞0；
当$x∈（{-\frac{1}{m}，+∞}）$时，g'（x）＜0，所以g（x）在$（{0，-\frac{1}{m}}）$上单调递增，在$（{-\frac{1}{m}，+∞}）$上单调递减，
综上所述，m≥0时，g（x）在（0，+∞）上为增函数；
m＜0时，g（x）在$（{0，-\frac{1}{m}}）$上单调递增，在$（{-\frac{1}{m}，+∞}）$上单调递减．
（2）f'（x）=lnx+m（x-1），
当m≥0时，f'（x）单调递增，恒满足f'（1）=0，且在x=1处单调递增，
当m＜0时，f'（x）在$（{0，-\frac{1}{m}}）$单调递增，故$-\frac{1}{m}＞1$，即-1＜m＜0；
综上所述，m取值范围为（-1，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．