Question

5．设直线3x-4y+5=0的倾斜角为α．
（1）求tan2α的值；
（2）求$cos（{\frac{π}{6}-α}）$的值．

Answer 1

分析 （1）求出倾斜角的正切函数值，利用二倍角的正切函数公式即可计算得解．
（2）利用同角三角函数的基本关系式求解sinα，cosα的值，进而利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．

解答 解：（1）直线3x-4y+5=0的倾斜角为α，可得tanα=$\frac{3}{4}$，α是锐角．
可得：tan2α=$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=$\frac{24}{7}$．
（2）∵tanα=$\frac{3}{4}$=$\frac{sinα}{cosα}$，α是锐角，
又∵sin²α+cos²α=1，
∴解得sinα=$\frac{3}{5}$．cos$α=\frac{4}{5}$，
∴$cos（{\frac{π}{6}-α}）$=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{4}{5}$+$\frac{1}{2}×\frac{3}{5}$=$\frac{3+4\sqrt{3}}{10}$．

点评 本题考查直线的倾斜角与同角三角函数的基本关系式，两角差的余弦函数公式的应用，考查计算能力．