题目内容
10．数列{an}中，an+1=$\frac{{2}^{n+1}•{a}_{n}}{{2}^{n+1}+{a}_{n}}$，a1=2，求an．分析 化简可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n+1}+{a}_{n}}{{2}^{n+1}{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，从而可得$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，从而利用累加法求和即可．
解答 解：∵an+1=$\frac{{2}^{n+1}•{a}_{n}}{{2}^{n+1}+{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n+1}+{a}_{n}}{{2}^{n+1}{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{{2}^{2}}$，
$\frac{1}{{a}_{3}}$-$\frac{1}{{a}_{2}}$=$\frac{1}{{2}^{3}}$，
…
$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
利用累加法可得，
$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$，
又∵a1=2，∴$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$；
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴an=$\frac{1}{1-\frac{1}{{2}^{n}}}$=$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n}-1}$．
点评 本题考查了数列的性质的判断及转化思想的应用，同时考查了整体思想与构造法的应用．
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已知：如图，平面α、β满足α∥β，A、C∈α，B、D∈β，E∈AB，F∈CD，AC与BD异面，且$\frac{AE}{EB}=\frac{CF}{FD}$．求证：EF∥β
如图所示，在正方体AC1中，E，F分别是AB，AA1的中点．