Question

6．已知f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f'（x），若2f（x）-f'（x）＜2，f（0）=2018，则不等式f（x）＞2017e^2x+1（其中e为自然对数的底数）的解集为（0，+∞）．

Answer 1

分析 构造函数g（x）=e^-2xf（x）-e^-2x，则g′（x）＞0，g（x）单调递增，不等式f（x）＞2017e^2x+1两边同乘e^-2x得出g（x）＞2017，从而得出x的范围．

解答 解：设g（x）=e^-2xf（x）-e^-2x，
则g′（x）=-2e^-2xf（x）+e^-2xf′（x）+2e^-2x=-e^-2x[2f（x）-f′（x）-2]，
∵2f（x）-f'（x）＜2，
∴g′（x）＞0，∴g（x）在R上单调递增．
∵f（x）＞2017e^2x+1，∴e^-2xf（x）＞2017+e^-2x，即g（x）＞2017，
∵g（0）=f（0）-1=2017，
∴x＞0．
故答案为（0，+∞）．

点评 本题考查了导数与函数单调性的关系，函数单调性的应用，构造g（x）是解题关键，属于中档题．