Question

6．将$\frac{n（n+1）}{2}$（n≥4）个正实数排成如图所示n行n列的三角形数阵（如图）：其中每一列的数成等比数列，并且所有的公比相等，从第三行起每一行的数成等差数列．已知a₂₂=$\frac{3}{4}，{a_{41}}=\frac{1}{8}，{a_{43}}=\frac{1}{4}$，则a₁₁+a₂₂+…+a_nn=$3-\frac{n+3}{2^n}$．

Answer 1

分析 求出a_nn=（n+1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，利用错位相减法求和，即可得出结论．

解答 解：∵a₂₂=$\frac{3}{4}，{a_{41}}=\frac{1}{8}，{a_{43}}=\frac{1}{4}$，每一列的数成等比数列，
并且所有的公比相等，从第三行起每一行的数成等差数列，
∴a_nn=（n+1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴S=2$•\frac{1}{2}$+3•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+（n+1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}$S=2$•\frac{1}{{2}^{2}}$+3$•\frac{1}{{2}^{3}}$+…+n•$\frac{1}{{2}^{n}}$+（n+1）$•\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
两式相减，整理可得S=$3-\frac{n+3}{2^n}$，
故答案为$3-\frac{n+3}{2^n}$．

点评 本题考查归纳推理，考查错位相减法求和，属于中档题．