Question

1．一轮船行驶时，单位时间的燃料费u与其速度v的立方成正比，若轮船的速度为每小时20km时，燃料费为每小时40元，其余费用每小时为270元，这部分费用不随速度而变化．
（1）求u是v的函数关系式；
（2）求轮船速度为多少时，轮船航行每千米的费用最少（轮船最高速度为bkm/小时）．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法进行求解即可．
（2）求出轮船航行每千米的平均费用，结合基本不等式进行求解即可．

解答 解：（1）设轮船的燃料费u与速度v之间的关系是：u=kv³（k≠0），
由已知，当v=20时，u=40，∴40=k×20³⇒k=$\frac{1}{200}$，
∴u=$\frac{1}{200}$v³．
（2）轮船行驶1千米的费用y=u$•\frac{1}{v}$+270$•\frac{1}{v}$=$\frac{1}{200}$v²+$\frac{270}{v}$=$\frac{1}{200}$v²+$\frac{270}{2v}$+$\frac{270}{2v}$
≥3$\root{3}{\frac{{v}^{2}}{200}•\frac{270}{2v}•\frac{270}{2v}}$=3×$\frac{9}{2}$=$\frac{27}{2}$=13.5（元）；
当且仅当$\frac{1}{200}$v²=$\frac{270}{2v}$，即v=30（km/h）时，等号成立．     
答：当轮船速度为30km/h时，轮船行每千米的费用最少，最少费用为13.5元．

点评 本题考查了正比例函数、均值不等式的应用，利用待定系数法求出函数的表达式，以及利用基本不等式进行求解是解决本题的关键．属于中档题．