Question

（本小题满分12分）已知函数，其中.
（Ⅰ）若是的极值点，求的值；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）若在上的最大值是，求的取值范围 .

Answer 1

（Ⅰ）时，符合题意.
（Ⅱ）综上，当时，的增区间是，减区间是；
当时，的增区间是，减区间是和；
当时，的减区间是；
当时，的增区间是；减区间是和. 
（Ⅲ）在上的最大值是时，的取值范围是.

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。根据导数的符号判定函数的单调性和最值问题。
（1）.  依题意，令，解得 .
（2）对于参数a进行分类讨论得到不同情况下的单调性质的证明
（3）在第二问的基础上，根据单调性得到最值。
（Ⅰ）解：.  依题意，令，解得 . 经检验，时，符合题意.             ……4分   
（Ⅱ）解：① 当时，.
故的单调增区间是；单调减区间是.
② 当时，令，得，或.
当时，与的情况如下：

	↘		↗		↘

所以，的单调增区间是；单调减区间是和.
当时，的单调减区间是.                  
当时，，与的情况如下：

	↘		↗		↘

所以，的单调增区间是；单调减区间是和.
③ 当时，的单调增区间是；单调减区间是.  
综上，当时，的增区间是，减区间是；
当时，的增区间是，减区间是和；
当时，的减区间是；
当时，的增区间是；减区间是和.  ……10分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知 时，在上单调递增，由，知不合题意.
当时，在的最大值是，
由，知不合题意. 
当时，在单调递减，
可得在上的最大值是，符合题意.  
所以，在上的最大值是时，的取值范围是. …………12分