Question

（本小题共14分）

如图，在Rt中，，点、分别在线段、上，且，将沿折起到的位置，使得二面角的大小为.

（1）求证：；

（2）当点为线段的中点时，求与平面所成角的大小；

（3）求四棱锥体积的最大值.

 

Answer 1

（本小题共14分）

（Ⅰ）证明：在Rt中，，∴.∴.

又∵， ∴平面.   …………………………………2分

又∵平面，∴.  ………………4分

（Ⅱ）解法一：过点作交于，连结.

∵平面，平面，

∴.

∵，∴平面.

∴是在平面内的射影.

∴是与平面所成的角.        ………………………………………6分

∵点为线段的中点，，

∴.

∵，

∴是二面角的平面角.            ………………………………………8分

∵二面角的大小为，  ∴.

在Rt△中，.∴.

在Rt△中，.∴在Rt△中，.

∴与平面所成角的大小为.  …………………………………9分

解法二：如图，以为原点建立空间直角坐标系．

∵点为线段的中点，，

∴.

∵，

∴是二面角的平面角.

∵二面角的大小为，

∴.

………………………………………6分

可得，.

则，且平面的法向量n.

∴.∴与平面所成角的大小为.  …………9分

（Ⅲ）设，则.同（Ⅱ）可求得.

在等腰直角三角形中，，

∴. ∴.………11分

设，，则，由得.

当时，单调递增；当时，单调递减.

∴当时，四棱锥体积取最大值为.…………………………14分