题目内容
【题目】如图，三棱柱
中，
，
，
.
（1）证明：
；
（2）若平面
平面
，
，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）详见解析（2）
【解析】
（1）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，由已知可证OA1⊥AB，AB⊥平面OA1C，进而可得AB⊥A1C；
（2）易证OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，
的方向为x轴的正向，||为单位长，建立坐标系，求出平面
平面BB1C1C的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．
（1）取
中点
，连接
，
，因为
，所以
；
因为
，
，故
为等边三角形，所以
；
因为
，所以
平面
；所以
.
（2）由（1）可知，，，又因为平面
平面
，交线为，所以
平面，故
，，两两垂直.以为坐标原点，建立空间直角坐标系
如图，
因为
，所以
，所以
，
，
，
.
设
是平面
的法向量，则
，
，解得
，同理可得，平面
的法向量
，
，
，
所以二面角余弦值为.
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