Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为，且经过点．若直线x+y-1=0与椭圆交于两点P，Q，求证：OP⊥OQ．

Answer 1

【答案】分析：由椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为，椭圆经过点，推导出椭圆方程为．由此能够证明OP⊥OQ．
解答：解：∵椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为，
∴设椭圆方程为+=1，
∵椭圆经过点，
∴，解得b²=，
∴椭圆方程为．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由，得6x²-8x+1=0，
∴x₁+x₂=，=，
∴y₁y₂=（1-x₁）（1-x₂）=1-（x₁+x₂）+x₁x₂
=1-+=-．
∴x₁x₂+y₁y₂=0．
∴OP⊥OQ．
点评：本题考查直线垂直的证明，具体涉及到椭圆方程的性质．解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．