Question

如图，在一个半径为r的半圆形铁板中有一个内接矩形ABCD，矩形的边AB在半圆的直径上，顶点C、D在半圆上，O为圆心．令∠BOC=θ，用θ表示四边形ABCD的面积S，并求这个矩形面积S的最大值．

Answer 1

分析：根据直角三角形中的三角函数和图形求出矩形的长和宽，再表示出矩形的面积，利用倍角的正弦公式化简，再由正弦函数的最值求出矩形面积的最大值．

解答：解：由图得，BC=rsinθ，AB=2rcosθ，
∴S=AB×BC=2rcosθ×rsinθ=r²sin2θ，
当θ=

π

4

时，sin2θ=sin

π

2

=1，
∴Smax=r2．

点评：本题是实际问题为背景，考查了倍角的正弦公式，以及直角三角形中的三角函数，注重数学在实际中的应用．