Question

如图，有一块半径为R的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形游泳池ABCD和其附属设施，附属设施占地形状是等腰△CDE，其中O为圆心，A，B在圆的直径上，C，D，E在圆周上．
（1）设∠BOC=θ，征地面积记为f（θ），求f（θ）的表达式；
（2）当θ为何值时，征地面积最大？

Answer 1

分析：（1）利用f（θ）=2S_梯形OBCE，可求f（θ）的表达式；
（2）求导数，确定函数的单调性，即可求得最值．

解答：解：（1）连接OE，OC，可得OE=R，OB=Rcosθ，BC=Rsinθ，θ∈（0，

π

2

）
∴f（θ）=2S_梯形OBCE=R²（sinθcosθ+cosθ）；
（2）求导数可得f′（θ）=-R²（2sinθ-1）（sinθ+1）
令f′（θ）=0，则sinθ=

1

2

∵θ∈（0，

π

2

）
∴θ∈（0，

π

6

）时，f′（θ）＞0，θ∈（

π

6

，

π

2

）时，f′（θ）＜0，
∴θ=

π

6

时，f（θ）取得最大，即θ=

π

6

时，征地面积最大．

点评：本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，正确建立函数模型是关键．