Question

已知椭圆的中心在坐标原点O，长轴长为2

2

，离心率e=

2

2

，过右焦点F的直线l交椭圆于P、Q两点，且直线l的斜率k＞0．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若OP⊥OQ，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据长轴长为2

2

，离心率e=

2

2

，求出几何量，即可求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x-1），代入椭圆方程，根据OP⊥OQ，结合韦达定理，即可求直线l的方程．

解答：解：（Ⅰ）由已知，椭圆方程可设为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
∵长轴长为2

2

，离心率e=

2

2

，
∴2a=2

2

，

c

a

=

2

2

，
∴a=

2

，b=c=1．
∴所求椭圆方程为

x2

2

+y2=1．                    …（4分）
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x-1），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
由 

x2+2y2=2 y=k(x-1)

可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
∴由求根公式可得：x1，2=

2k2± 2k2+2

1+2k2

，
∴x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

．…（7分）
∵y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
∴y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=

-k2

1+2k2

．
∵OP⊥OQ，∴

OP

•

OQ

=0，
由

OP

•

OQ

=x1x2+y1y2=

2k2-2

1+2k2

+

-k2

1+2k2

=0，…．（10分）
得k²=2，
∵k＞0，∴k=

2

．
∴所求直线的方程为

2

x-y-

2

=0．…（12分）

点评：本题考查椭圆方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，正确运用韦达定理是关键．