Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面平面，.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若锐二面角的余弦值为，求直线与平面所成的角.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）由余弦定理解得，即可得到，由面面垂直的性质可得平面，即可得到，从而得证；

（Ⅱ）在平面中，过点作于点，则平面，如图所示建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法得到二面角的余弦，即可得到的关系，从而得解；

解：（Ⅰ）证明：在中，，解得，

则，从而

因为平面平面，平面平面

所以平面，

又因为平面，

所以，

因为，，平面，平面，所以平面；

（Ⅱ） 解：在平面中，过点作于点，则平面，如图所示建立空间直角坐标系，设，其中，则

设平面的法向量为，则

，即，

令，则

又平面的一个法向量，则

从而，故

则直线与平面所成的角为，大小为.