Question

已知函数，
（I）当时，求曲线在点处的切线方程；
（II）在区间内至少存在一个实数，使得成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）（2）

试题分析：解：（I）当时，，，                 2分
曲线在点 处的切线斜率，
所以曲线在点处的切线方程为．         6分
（II）解1：
当，即时，，在上为增函数，
故，所以， ，这与矛盾     8分
当，即时，
若，；
若，，
所以时，取最小值，
因此有，即，解得，这与
矛盾；                                                     12分
当即时，，在上为减函数，所以
，所以，解得，这符合．
综上所述，的取值范围为．                                    14分
解2：有已知得：，                               8分
设，，                        10分
，，所以在上是减函数．             12分
，
故的取值范围为                                          14分

点评：主要是考查了导数的符号与函数的单调性的关系的运用，求解单调区间和函数的 最值，属于基础题。