Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点M为棱AA₁的中点，则直线BC₁与平面MC₁D₁所成角的正弦值是（　　）

• A．

  10

  15

• B．

  30

  10

• C．

  10

  10

• D．

  3 10

  10

Answer 1

分析：设正方体的边长为1，以D点为坐标原点，以DA、DC、DD₁分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出平面MC₁D₁的一个法向量为

n

，然后求出法向量为

n

与

BC1

夹角的余弦值即为直线BC₁与平面MC₁D₁所成角的正弦值．

解答：解：设正方体的边长为1，以D点为坐标原点，以DA、DC、DD₁分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系
则M（1，0，

1

2

），D₁（0，0，1），C₁（0，1，1），B（1，1，0），
则

MD1

=（-1，0，

1

2

），

MC1

=（-1，1，

1

2

），

BC1

=（-1，0，1）
设平面MC₁D₁的一个法向量为

n

=（x，y，z）
则

n • MD1 =0 n • MC1 =0

即

-x+ 1 2 z=0 -x+y+ 1 2 z=0

∴取x=1，则z=2即

n

=（1，0，2）
设直线BC₁与平面MC₁D₁所成角为θ，
则sinθ=|cosα|=|

n • BC1

|n| |BC1|

|=|

-1+2

5 × 2

|=

10

10

故选C．

点评：本题主要考查了用空间向量求直线与平面的夹角，以及向量的夹角公式，同时考查了计算能力，属于中档题．