Question

在锐角△ABC中，2asinB=

3

b，
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）当BC=2时，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（I）由正弦定理化简已知等式，可得sinA=

3

2

，结合△ABC是锐角三角形，可得A=

π

3

；
（II）由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA的式子，代入题中数据化简得到b²+c²=bc+4，再根据基本不等式加以计算得到bc≤4，利用三角形的面积公式即可得到当b=c=2时，△ABC面积S有最大值为

3

．

解答：解：（Ⅰ）∵2asinB=

3

b，
∴由正弦定理，得2sinAsinB=

3

sinB，
又∵B为三角形的内角，得sinB＞0，
∴2sinA=

3

，可得sinA=

3

2

∵△ABC是锐角三角形，
∴A=

π

3

；
（Ⅱ）设角A、B、C所对的边分别为a、b、c．
由题意a=2，根据余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，
可得4=b²+c²-2bccos

π

3

，
化简得b²+c²=bc+4，
∵b²+c²≥2bc，
∴bc+4≥2bc，解得bc≤4，
∵△ABC面积S=

1

2

bcsinA=

3

4

bc，
∴当且仅当b=c=2时，△ABC面积S达到最大值，面积的最大值为

3

．

点评：本题给出三角形的边角关系式，求角A的大小并依此求三角形面积的最大值．着重考查了正余弦定理、三角形的面积公式和利用基本不等式求最值等知识，属于中档题．