Question

对于四面体ABCD，下列命题正确的是

 

（写出所有正确命题的编号）
①相对棱AB与CD所在的直线异面；
②若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在的直线异面；
③分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；
④最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：空间位置关系与距离,简易逻辑

分析：①假设相对棱AB与CD所在的直线共面，则A，B，C，D四点在同一平面内，与四面体ABCD矛盾，说明①正确；
②举特例说明②错误；
③由对应边中点的连线是平行四边形判断；
④不妨设AB为最长棱，分类讨论（i）当AC≥BD时，在△ACD中，由三角形的 两边之和大于第三边可得，AD+BD＞AB，可判断（ii）当AC＜BD时，在△ABC中，由三角形的 两边之和大于第三边可得AC+BC＞AB，可判断．

解答： 解：①假设相对棱AB与CD所在的直线共面，则A，B，C，D四点在同一平面内，与四面体ABCD矛盾，故①正确；
②当四面体的面ABC和ABD全等时，两条高所在的直线共面，命题②错误；
③对应边中点的连线是平行四边形对角线的交点，命题③正确；
④不妨设AB为最长棱，（i）当AC≥BD时，
在△ACD中，由三角形的 两边之和大于第三边可得，AD+BD＞AB，则AD+AC≥AD+BD＞AB；
（ii）当AC＜BD时，在△ABC中，由三角形的 两边之和大于第三边可得AC+BC＞AB，则DB+BC＞BC+AC＞AB．
故④正确．
故答案为：①③④．

点评：本题考查异面直线，三垂线定理，棱锥的结构特征，考查空间想象能力逻辑思维能力，属于中档题．