Question

【题目】如图，在半径为的半圆形铁皮上截取一块矩形材料ABCD（点A、B在直径上，点C、D在半圆周上），并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），

（1）若要求圆柱体罐子的侧面积最大，应如何截取？

（2）若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？

Answer 1

【答案】（1）当截取的矩形铁皮的一边为为时，圆柱体罐子的侧面积最大．

（2）当截取的矩形铁皮的一边为为时，圆柱体罐子的体积最大．

【解析】解：（1）如图，设圆心为O，连结，设 ，

法一 易得， ，故所求矩形的面积为

（）

（当且仅当， （）时等号成立） 此时 ；

法二 设， ； 则， ，

所以矩形的面积为，

当，即时， （）此时 ；

（2）设圆柱的底面半径为，体积为，由得， ，

所以，其中，

由得，此时， 在上单调递增，在上单调递减， 故当 时，体积最大为 ，

答：（1）当截取的矩形铁皮的一边为 为时，圆柱体罐子的侧面积最大．

（2）当截取的矩形铁皮的一边为 为时，圆柱体罐子的体积最大．