Question

已知

π

2

＜β＜α＜

3π

4

，cos（α-β）=

12

13

，sin（α+β）=-

3

5

．求sin2α的值．

Answer 1

分析：本题主要知识是角的变换，要求的角2α变化为（α+β）+（α-β），利用两个角的范围，得到要用的角的范围，用两角和的正弦公式，代入数据，得到结果．

解答：解：由题设知α-β为第一象限的角，
∴sin（α-β）=

1-cos2(α-β)

=

1-( 12 13 )2

=

5

13

．
由题设知α+β为第三象限的角，
∴cos（α+β）=-

1-sin2(α+β)

=-

1-(- 3 5 )2

=-

4

5

，
∴sin2α=sin[（α-β）+（α+β）]，
=sin（α-β）cos（α+β）+cos（α-β）sin（α+β）
=

5

13

×(-

4

5

)+

12

13

×(-

3

5

)=-

56

65

．

点评：本小题主要考查三角函数和角公式等基础知识及运算能力．已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值．角的变换是解题的关键．