Question

在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos²A=sin²B+cos²C+sinAsinB．
（I）求角C的大小；
（Ⅱ）若c=，求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）由三角函数的平方关系、余弦定理即可得出；
（II）利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性即可得出．
解答：解：（I）∵cos²A=sin²B+cos²C+sinAsinB，
∴1-sin²A=sin²B+1-sin²C+sinAsinB，
∴sin²A+sin²B-sin²C=-sinAsinB，
∴a²+b²-c²=-ab，
∴=，
又0＜C＜π，∴．
（2）∵，∴a=2sinA，b=2sinB，
则△ABC的周长L=a+b+c=2（sinA+sinB）+=2（sinA+）+=，
∵，，
∴，即，
∴△ABC周长的取值范围是．
点评：熟练掌握三角函数的平方关系、正、余弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等是解题的关键．