Question

双曲线x²-

y2

4

=1的渐近线被圆x²+y²-6x-2y+1=0所截得的弦长为

 

．

Answer 1

分析：求出渐近线方程，由点到直线的距离公式求出圆心到渐近线的距离，将此距离和半径作比较，得出结论，再求弦长即可．

解答：解：由题得双曲线x²-

y2

4

=1的渐近线是：y=±2x
圆x²+y²-6x-2y+1=0的标准方程为：（x-3）²+（y-1）²=9
∴圆心（3，1），半径r=3．
∴（3，1）到直线y=2x的距离d=

|2×3-1|

22+1

=

5

．
故有

l

2

=

r2-d2

=2，得到弦长l=4；
∵（3，1）到直线y=-2x的距离d=

|(-2)×3-1|

(-2)2+1

=

7 5

5

＞r，此时圆于直线相离．
综上得：双曲线x²-

y2

4

=1的渐近线被圆x²+y²-6x-2y+1=0所截得的弦长为4．
故答案为：4．

点评：本题考查双曲线的简单性质，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系．考查计算能力以及分类讨论能力．