题目内容

已知实数a满足0＜a≤2，a≠1，设函数f （x）= $数学公式$ x³- $数学公式$ x²+ax．
（1）当a=2时，求f （x）的极小值；
（2）若函数g（x）=x³+bx²-（2b+4）x+ln x （b∈R）的极小值点与f （x）的极小值点相同．
求证：g（x）的极大值小于等于 $数学公式$ ．

解：（Ⅰ）解：当a=2时，f′（x）=x²-3x+2=（x-1）（x-2）．
列表如下：

x	（-∞，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

所以，f（x）的极小值为f（2）= $\text{[math]}$ ．（6分）
．（5分）
（Ⅱ）解：f′（x）=x²-（a+1）x+a=（x-1）（x-a）．Ks*5u
g′（x）=3x²+2bx-（2b+4）+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
令p（x）=3x²+（2b+3）x-1，
（1）当1＜a≤2时，
f（x）的极小值点x=a，则g（x）的极小值点也为x=a，
所以p（a）=0，
即3a²+（2b+3）a-1=0，
即b= $\text{[math]}$ ，
此时g（x）_极大值=g（1）=1+b-（2b+4）=-3-b
=-3+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
由于1＜a≤2，
故 $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ x2- $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．（10分）
（2）当0＜a＜1时，
f（x）的极小值点x=1，则g（x）的极小值点为x=1，
由于p（x）=0有一正一负两实根，不妨设x₂＜0＜x₁，
所以0＜x₁＜1，
即p（1）=3+2b+3-1＞0，
故b＞- $\text{[math]}$ ．
此时g（x）的极大值点x=x₁，
有g（x₁）=x₁³+bx₁²-（2b+4）x₁+lnx₁
＜1+bx₁²-（2b+4）x₁
=（x₁²-2x₁）b-4x₁+1　（x₁²-2x₁＜0）
＜- $\text{[math]}$ （x₁²-2x₁）-4x₁+1Ks*5u
=- $\text{[math]}$ x₁²+x₁+1
=- $\text{[math]}$ （x₁- $\text{[math]}$ ）²+1+ $\text{[math]}$ （0＜x₁＜1）
≤ $\text{[math]}$ ，＜ $\text{[math]}$ ．Ks*5u
综上所述，g（x）的极大值小于等于 $\text{[math]}$ ．（14分）
分析：（1）求出函数的导数，利用导数画出表格，求出函数的极值
（2）根据f（x）的极值求出函数g（x）关系式从而证明函数g（x）的极大值小于 $\text{[math]}$
点评：本题考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值