Question

已知实数a满足0＜a＜2，直线l₁：ax-2y-2a+4=0和l₂：2x+a²y-2a²-4=0与两坐标轴围成一个四边形．
（1）求证：无论实数a如何变化，直线l₁、l₂必过定点．
（2）画出直线l₁和l₂在平面坐标系上的大致位置．
（3）求实数a取何值时，所围成的四边形面积最小？

Answer 1

分析：（1）把所给的两个直线的方程进行整理，把含有字母a的部分都分开，提出a，得到一个直线的方程，把两个方程联立得到结果．
（2）根据所给的条件画出直线的大致位置，如图．
（3）求出直线与坐标轴的交点，把一个四边形转化成两个三角形，根据底边和高得到三角形的面积，表示出面积，根据二次函数的性质得到结果．

解答：证明：（1）由l₁：ax-2y-2a+4=0变形得
a（x-2）-2y+4=0
所以，当x=2时，y=2
即直l₁过定点（2，2）
由l₂：2x+a²y-2a²-4=0变形得a²（y-2）+2x-4=0
所以当y=2时，x=2
即直线l₂过定点（2，2）
（2）如图：
（3）直线l₁与y轴交点为A（0，2-a），直线l₂与x轴交点为B（a²+2，0），如图
由直线l₁：ax-2y-2a+4=0知，直线l₁也过定点C（2，2）
过C点作x轴垂线，垂足为D，于是
S_{四边形AOBC}=S_梯形AODC+S_△BCD
=

1

2

(2-a+2)•2+

1

2

a2•2
=a²-a+4
∴当a=

1

2

时，S_{四过形AOBC}最小．
故当a=

1

2

时，所围成的四边形面积最小．

点评：本题考查过顶点的直线和四边形的面积的最值，本题解题的关键是表示出面积，在立体几何和解析几何中，不论求什么图形的面积一般都要表示出结果，再用函数的最值来求．