题目内容
已知实数a满足0<a≤2,a≠1,设函数f (x)=1 |
3 |
a+1 |
2 |
(1)当a=2时,求f (x)的极小值;
(2)若函数g(x)=x3+bx2-(2b+4)x+ln x (b∈R)的极小值点与f (x)的极小值点相同.
求证:g(x)的极大值小于等于
5 |
4 |
分析:(1)求出函数的导数,利用导数画出表格,求出函数的极值
(2)根据f(x)的极值求出函数g(x)关系式从而证明函数g(x)的极大值小于
(2)根据f(x)的极值求出函数g(x)关系式从而证明函数g(x)的极大值小于
5 |
4 |
解答:解:(Ⅰ)解:当a=2时,f′(x)=x2-3x+2=(x-1)(x-2).
列表如下:
所以,f(x)的极小值为f(2)=
.(6分)
.(5分)
(Ⅱ)解:f′(x)=x2-(a+1)x+a=(x-1)(x-a).
g′(x)=3x2+2bx-(2b+4)+
=
.
令p(x)=3x2+(2b+3)x-1,
(1)当1<a≤2时,
f(x)的极小值点x=a,则g(x)的极小值点也为x=a,
所以p(a)=0,
即3a2+(2b+3)a-1=0,
即b=
,
此时g(x)极大值=g(1)=1+b-(2b+4)=-3-b
=-3+
=
a-
-
.
由于1<a≤2,
故
a-
-
≤
x2-
-
=
.(10分)
(2)当0<a<1时,
f(x)的极小值点x=1,则g(x)的极小值点为x=1,
由于p(x)=0有一正一负两实根,不妨设x2<0<x1,
所以0<x1<1,
即p(1)=3+2b+3-1>0,
故b>-
.
此时g(x)的极大值点x=x1,
有g(x1)=x13+bx12-(2b+4)x1+lnx1
<1+bx12-(2b+4)x1
=(x12-2x1)b-4x1+1 (x12-2x1<0)
<-
(x12-2x1)-4x1+1
=-
x12+x1+1
=-
(x1-
)2+1+
(0<x1<1)
≤
,<
.
综上所述,g(x)的极大值小于等于
.(14分)
列表如下:
x | (-∞,1) | 1 | (1,2) | 2 | (2,+∞) |
f′(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | 单调递增 | 极大值 | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
2 |
3 |
.(5分)
(Ⅱ)解:f′(x)=x2-(a+1)x+a=(x-1)(x-a).
g′(x)=3x2+2bx-(2b+4)+
1 |
x |
(x-1)[3x2+(2b+3)x-1] |
x |
令p(x)=3x2+(2b+3)x-1,
(1)当1<a≤2时,
f(x)的极小值点x=a,则g(x)的极小值点也为x=a,
所以p(a)=0,
即3a2+(2b+3)a-1=0,
即b=
1-3a2-3a |
2a |
此时g(x)极大值=g(1)=1+b-(2b+4)=-3-b
=-3+
3a2+3a-1 |
2a |
3 |
2 |
1 |
2a |
3 |
2 |
由于1<a≤2,
故
3 |
2 |
1 |
2a |
3 |
2 |
3 |
2 |
1 |
4 |
3 |
2 |
5 |
4 |
(2)当0<a<1时,
f(x)的极小值点x=1,则g(x)的极小值点为x=1,
由于p(x)=0有一正一负两实根,不妨设x2<0<x1,
所以0<x1<1,
即p(1)=3+2b+3-1>0,
故b>-
5 |
2 |
此时g(x)的极大值点x=x1,
有g(x1)=x13+bx12-(2b+4)x1+lnx1
<1+bx12-(2b+4)x1
=(x12-2x1)b-4x1+1 (x12-2x1<0)
<-
5 |
2 |
=-
5 |
2 |
=-
5 |
2 |
1 |
5 |
1 |
10 |
≤
11 |
10 |
5 |
4 |
综上所述,g(x)的极大值小于等于
5 |
4 |
点评:本题考查利用导函数来研究函数的极值.在利用导函数来研究函数的极值时,分三步①求导函数,②求导函数为0的根,③判断根左右两侧的符号,若左正右负,原函数取极大值;若左负右正,原函数取极小值
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