题目内容
（2012•普陀区一模）已知数列{an}是首项为2的等比数列，且满足an+1=pan+2n(n∈N*)
（1）求常数p的值和数列{an}的通项公式；
（2）若抽去数列中的第一项、第四项、第七项、…第3n-2项，…，余下的项按原来的顺序组成一个新的数列{bn}，试写出数列
{bn}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，设数列{bn}的前n项和为Tn，是否存在正整数n，使得
=
？若存在，试求所有满足条件的正整数n的值，若不存在，请说明理由．
（1）求常数p的值和数列{an}的通项公式；
（2）若抽去数列中的第一项、第四项、第七项、…第3n-2项，…，余下的项按原来的顺序组成一个新的数列{bn}，试写出数列
{bn}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，设数列{bn}的前n项和为Tn，是否存在正整数n，使得
| Tn+1 |
| Tn |
| 11 |
| 3 |
分析：（1）由a1=2，an-1=pan+2n，求得a2=2p+2，a3=2p2+2p+4，由存在常数p，使得数列an为等比数列，求出（2p+2）2=2（2p2+2p=4），由此能求出常数p的值和数列{an}的通项公式．
（2）由等比数列的性质得：（i）当n=2k（k∈N*）时，bn=a3k=23k；（ii）当n=2k-1（k∈N*）时，bn=a3k-1=23k-1，由此能求出数列{bn}的通项公式；
（3）由{b2n-1}是首项为b1=4，公式q=8的等比数列，知{b2n}是首项b2=8，公比q=8的等比数列，由此能求出Tn=
．假设存在正整数n满足条件，则
=
=1+
=
，即
=
．由此能够推导出当且仅当n=2时，
=
．
（2）由等比数列的性质得：（i）当n=2k（k∈N*）时，bn=a3k=23k；（ii）当n=2k-1（k∈N*）时，bn=a3k-1=23k-1，由此能求出数列{bn}的通项公式；
（3）由{b2n-1}是首项为b1=4，公式q=8的等比数列，知{b2n}是首项b2=8，公比q=8的等比数列，由此能求出Tn=
|
| Tn+1 |
| Tn |
| Tn+bn+1 |
| Tn |
| bn+1 |
| Tn |
| 11 |
| 3 |
| bn+1 |
| Tn |
| 8 |
| 3 |
| Tn+1 |
| Tn |
| 11 |
| 3 |
解答：解：（1）由a1=2，an-1=pan+2n，
得a2=2p+2，a3=2p2+2p+4，
∵存在常数p，使得数列an为等比数列，
∴a 22=a1a3，即（2p+2）2=2（2p2+2p=4），
∴p=1．
故数列{an}为首项是非，公比为2的等比数列，即an=2n，
此时，an+1=2n+2n=2n+1也满足，
则所求常数p的值为1，且an=2n（n∈N*）．
（2）由等比数列的性质得：
（i）当n=2k（k∈N*）时，bn=a3k=23k；
（ii）当n=2k-1（k∈N*）时，bn=a3k-1=23k-1，
∴bn=
，(k∈N*)．
（3）∵{b2n-1}是首项为b1=4，公式q=8的等比数列，
{b2n}是首项b2=8，公比q=8的等比数列，则
（i）当n=2k（k∈N*）时，
Tn=T2k=（b1+b3+…+b2k-1）+（b2+b4+…+b2k）
=
+
=
=
．
（ii）当n=2k-1（k∈N*）时，
Tn=T2k-1=T2k-b2k=
-8k
=
=
．
即Tn=
．
假设存在正整数n满足条件，则
=
=1+
=
，
∴
=
．
则（i）当n=2k（k∈N*）时，
=
=
=
，
解得8k=8，k=1．
即当n=2时，满足条件．
（ii）当n=2k-1（k∈N*）时，
=
=
=
=
，
解得8k=
，
∵k∈N*，∴此时无满足条件的正整数n．
综上所述，当且仅当n=2时，
=
．
得a2=2p+2，a3=2p2+2p+4，
∵存在常数p，使得数列an为等比数列，
∴a 22=a1a3，即（2p+2）2=2（2p2+2p=4），
∴p=1．
故数列{an}为首项是非，公比为2的等比数列，即an=2n，
此时，an+1=2n+2n=2n+1也满足，
则所求常数p的值为1，且an=2n（n∈N*）．
（2）由等比数列的性质得：
（i）当n=2k（k∈N*）时，bn=a3k=23k；
（ii）当n=2k-1（k∈N*）时，bn=a3k-1=23k-1，
∴bn=
|
（3）∵{b2n-1}是首项为b1=4，公式q=8的等比数列，
{b2n}是首项b2=8，公比q=8的等比数列，则
（i）当n=2k（k∈N*）时，
Tn=T2k=（b1+b3+…+b2k-1）+（b2+b4+…+b2k）
=
| 4(8k-1) |
| 8-1 |
| 8(8k-1) |
| 8-1 |
=
| 12•8k-12 |
| 7 |
=
12•8
| ||
| 7 |
（ii）当n=2k-1（k∈N*）时，
Tn=T2k-1=T2k-b2k=
| 12•8k-12 |
| 7 |
=
| 5•8k-12 |
| 7 |
=
5•8
| ||
| 7 |
即Tn=
|
假设存在正整数n满足条件，则
| Tn+1 |
| Tn |
| Tn+bn+1 |
| Tn |
| bn+1 |
| Tn |
| 11 |
| 3 |
∴
| bn+1 |
| Tn |
| 8 |
| 3 |
则（i）当n=2k（k∈N*）时，
| bn+1 |
| Tn |
| b2k+1 |
| T2k |
| 23k+2 | ||
|
| 8 |
| 3 |
解得8k=8，k=1．
即当n=2时，满足条件．
（ii）当n=2k-1（k∈N*）时，
| bn+1 |
| Tn |
| b2k |
| Tn |
| 8k | ||
|
| 7•8k |
| 5•8k-12 |
| 8 |
| 3 |
解得8k=
| 96 |
| 19 |
∵k∈N*，∴此时无满足条件的正整数n．
综上所述，当且仅当n=2时，
| Tn+1 |
| Tn |
| 11 |
| 3 |
点评：本题考查数列通项公式的求法，考查正整数是否存在的探究．考查数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．
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