Question

【题目】如图，已知椭圆 的上、下顶点分别为A,B，点P在椭圆上，且异于点A,B，直线AP,BP与直线 分别交于点M,N，

（1）设直线AP,BP的斜率分别为 ，求证： 为定值；

（2）求线段MN的长的最小值；

（3）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）或.

【解析】试题分析：（Ⅰ） 随点运动而变化，故设点表示，进而化简整体消去变量；（Ⅱ）点的位置由直线， 生成，所以可用两直线方程解出交点坐标，求出，它必是的函数，利用基本不等式求出最小值； （Ⅲ）利用的坐标求出圆的方程，方程必含有参数，消去一个后，利用等式恒成立方法求出圆所过定点坐标.

试题解析：（Ⅰ） ，令，则由题设可知，

∴直线的斜率， 的斜率，又点在椭圆上，

所以，（ ），从而有.

（Ⅱ）由题设可以得到直线的方程为，

直线的方程为，

由， 由，

直线 与直线的交点，直线与直线的交点.

又，

等号当且仅当即时取到，故线段长的最小值是.

（Ⅲ）设点是以为直径的圆上的任意一点，则，故有

，又，所以以为直径的圆的方程为

，令解得，

以为直径的圆是否经过定点和.