Question

【题目】设函数， （）．

（Ⅰ）若直线和函数的图象相切，求的值；

（Ⅱ）当时，若存在正实数，使对任意，都有恒成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】试题分析：（Ⅰ）设切点，求切线方程，根据直线重合求解即可；（Ⅱ）不等式等价于，即．设，研究函数的单调性，讨论参数 ，分别令 即可.

试题解析：（Ⅰ）设切点的坐标为，由，得，

∴切线方程为，即．

由已知和为同一直线，所以， ，

令，则，

当时， ， 单调递增，当时， ， 单调递减，

∴，

当且仅当时等号成立，∴， ．

（Ⅱ）①当时，由（Ⅰ）结合函数的图象知：

存在，使得对于任意，都有，

则不等式等价于，即．

设， ，

由，得；由，得．

若， ，∵，∴在上单调递减，

∵，

∴对任意， ，与题设不符．

若， ， ，∴在上单调递增，

∵，∴对任意， 符合题设，

此时取，可得对任意，都有．

②当时，由（Ⅰ）结合函数的图象知（），

对任意都成立，

∴等价于．

设，则w，

由，得； ，得，

∴在上单调递减，注意到，

∴对任意， ，不符合题设．

综上所述， 的取值范围为．

【方法点晴】本题主要考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.本题是利用方法④求得的范围的.