Question

17．已知函数h（x）的图象与函数g（x）=e^x的图象关于直线y=x对称，点A在函数f（x）=ax-x²（$\frac{1}{e}≤x≤e$，e为自然对数的底数）上，A关于x轴对称的点A'在函数h（x）的图象上，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $[{1，e+\frac{1}{e}}]$
• B． $[{1，e-\frac{1}{e}}]$
• C． $[{e-\frac{1}{e}，e+\frac{1}{e}}]$
• D． $[{e-\frac{1}{e}，e}]$

Answer 1

分析 由题意可得，函数f（x）=x²-ax（$\frac{1}{e}$≤x≤e，e为自然对数的底数）与函数h（x）=lnx的图象有交点，即x²-ax=lnx，（$\frac{1}{e}$≤x≤e）有解，然后利用导数法，可得实数a取值范围．

解答 解：∵函数h（x）的图象与函数g（x）=e^x的图象关于直线y=x对称，∴h（x）=lnx，
若函数f（x）=ax-x²（$\frac{1}{e}$≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=lnx的图象上存在关于直线y=0对称的点，
则函数f（x）=x²-ax（$\frac{1}{e}$≤x≤e，e为自然对数的底数）与函数h（x）=lnx的图象有交点，
即x²-ax=lnx，（$\frac{1}{e}$≤x≤e）有解，
即a=x-$\frac{lnx}{x}$，（$\frac{1}{e}$≤x≤e）有解，
令y=x-$\frac{lnx}{x}$，（$\frac{1}{e}$≤x≤e），
则y′=$\frac{{x}^{2}-1+lnx}{{x}^{2}}$，
当$\frac{1}{e}$≤x＜1时，y′＜0，函数为减函数，
当1＜x≤e时，y′＞0，函数为增函数，
故x=1时，函数取最小值1，
当x=$\frac{1}{e}$时，函数取最大值e+$\frac{1}{e}$，
∴实数a取值范围是[1，e+$\frac{1}{e}$]，
故选：A

点评 本题考查的知识点是函数图象的交点与方程根的关系，利用导数求函数的最值，是中档题．