Question

如图，已知直平行六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AD⊥BD，AD＝BD＝a，E是CC₁的中点，AD⊥BE．

(1)求证：A₁D⊥平面BDE；

(2)求二面角B－DE－C的大小；

(3)求点B到平面A₁DE的距离．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵直平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥面ABCD， 　　又∵AD⊥BD，∴A1D⊥BD，又A1D⊥BE，∴A1D⊥平面BDE． 　　(2)连B1C，∵A1B1平行且等于CD，∴B1C平行且等于A1D． 　　∵A1D⊥BE，∴B1C⊥BE，∴∠BB1C＝∠CBE， 　　∴Rt△BB1C∽Rt△CBE，∴． 　　∵CE＝BB1，BC＝AD＝a， 　　∴BB＝BC2＝a2，∴BB1＝a， 　　取CD中点M，连BM，∵CD＝a，∴BM＝a． 　　过M作MN⊥DE于N，连BN． 　　∵平面CD1⊥平面BD，BM⊥CD，∴BM⊥平面CD1，∴BN⊥DE1， 　　∴∠BNM就是二面角B－DE－C的平面角， 　　∵sin∠MDN＝，DE＝， 　　∴MN＝． 　　在Rt△BMN中，tan∠BNM＝． 　　即二面角B－DE－C等于arctan． 　　(3)∵A1D⊥平面BDE，BN平面BDE，∴A1D⊥BN，又∵BN⊥DE， 　　∴BN⊥平面A1DE，即BN的长就是点B到平面A1DE的距离． 　　∵BM＝a，MN＝，∴BN＝＝， 　　即点B到平面A1DE的距离为．